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1967 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

对自然数而言，

P

除以

D

时，商为

Q

，余数为

R

。当

Q

除以

D'

时，商为

Q'

，余数为

R'

。那么，

P

除以

DD'

时的余数为：

For natural numbers, when

P

is divided by

D,

the quotient is

Q

and the remainder is

R.

When

Q

is divided by

D',

the quotient is

Q'

and the remainder is

R'.

Then, when

P

is divided by

DD',

the remainder is:

R+R'D

R'+RD

RR'

R

R'

答案：A

知识点：整除性模运算换元法

难度评级：1260

小提示：

写出

P=QD+R

与

Q=Q'D'+R'

Write

P=QD+R

and

Q=Q'D'+R'

大提示：

将第二个方程代入第一个，并分离出

DD'

的倍数

Substitute the second equation into the first and isolate the multiple of

DD'

解答：

代入得到

\begin{aligned} P&=(Q'D'+R')D+R\\ &=Q'(DD')+(R'D+R) \end{aligned}\text{。}

余数的范围说明

R'D+R\lt DD'

，所以这确实是余数。

因此，正确答案是 A。

Substitution gives

\begin{aligned} P&=(Q'D'+R')D+R\\ &=Q'(DD')+(R'D+R). \end{aligned}

The remainder bounds imply

R'D+R\lt DD',

so this is indeed the remainder.

Therefore, the correct answer is A.

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