1969 AMC 12 第 19 题

Question

若

x

与

y

均为正整数，则满足方程

x^4y^4-10x^2y^2+9=0

的互异有序对

(x,y)

的个数为：

The number of distinct ordered pairs

(x,y),

where

x

and

y

have positive integral values satisfying the equation

x^4y^4-10x^2y^2+9=0,

is:

0

3

4

12

无穷多个

infinite

答案：B

知识点：丢番图方程因式分解数对计数

难度评级：1640

小提示：

将

x^2y^2

看作一个变量

Treat

x^2y^2

as one variable

大提示：

因式分解后，把可能的值转化为对正整数乘积

xy

的条件

After factoring, translate the possible values into conditions on the positive integer product

xy

解答：

令

u=x^2y^2

。则

\begin{aligned} u^2-10u+9&=0,\\ (u-1)(u-9)&=0 \end{aligned}\text{。}

因为

x

和

y

都是正整数，所以

xy=1

或

xy=3

。这些有序对为

(1,1)

、

(1,3)

、

(3,1)

，共

3

个。

所以正确答案是 B。

Let

u=x^2y^2.

Then

\begin{aligned} u^2-10u+9&=0,\\ (u-1)(u-9)&=0. \end{aligned}

Since

x

and

y

are positive integers, this means

xy=1

or

xy=3.

The pairs are

(1,1),

(1,3),

and

(3,1),

for a total of

3.

Therefore, the correct answer is B.

1969 AMC 12 第 19 题

答案：B

难度评级：1640

小提示：

大提示：

解答：

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