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1969 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

若

x^2+y^2=m

的图形与

x+y=\sqrt{2m}

的图形相切，则：

If the graph of

x^2+y^2=m

is tangent to that of

x+y=\sqrt{2m},

then:

m

必须等于

\dfrac12

m

must equal

\dfrac12

m

必须等于

\dfrac1{\sqrt2}

m

must equal

\dfrac1{\sqrt2}

m

必须等于

\sqrt2

m

must equal

\sqrt2

m

必须等于

2

m

must equal

2

m

可以是任意非负实数

m

may be any nonnegative real number

答案：E

知识点：圆距离公式切线

难度评级：1720

小提示：

该圆以原点为圆心，半径为

\sqrt m

The circle has center the origin and radius

\sqrt m

大提示：

求原点到直线

x+y-\sqrt{2m}=0

的距离

Find the distance from the origin to

x+y-\sqrt{2m}=0

解答：

圆的半径为

\sqrt m

。原点到该直线的距离是

\frac{\lvert-\sqrt{2m}\rvert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt m\text{。}

因此对每个

m\ge0

，该直线都与圆相切（当

m=0

时，图形退化为原点）。

所以正确答案是 E。

The circle has radius

\sqrt m.

The distance from the origin to the line is

\frac{\lvert-\sqrt{2m}\rvert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt m.

Thus the line is tangent for every

m\ge0

(with the

m=0

case degenerate at the origin).

Therefore, the correct answer is E.

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