1969 AMC 12 Problema 23

Question

Para cualquier entero

n

mayor que

1,

el número de primos mayores que

n!+1

y menores que

n!+n

es:

Aquí

n!=1\cdot2\cdots(n-1)n.

For any integer

n

greater than

1,

the number of prime numbers greater than

n!+1

and less than

n!+n

is:

Here

n!=1\cdot2\cdots(n-1)n.

0

1

\dfrac n2

si

n

es par;

\dfrac{n+1}{2}

si

n

es impar

\dfrac n2

for

n

even,

\dfrac{n+1}{2}

for

n

odd

n-1

n

Respuesta: A

Conceptos:factorial divisibilidad primo

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Todo entero estrictamente entre los extremos tiene la forma

n!+k

, con

2\le k\le n-1

Every integer strictly between the endpoints has the form

n!+k

with

2\le k\le n-1

Pista grande:

Usa que

k

divide tanto a

n!

como a

n!+k

Use the fact that

k

divides both

n!

and

n!+k

Solución:

Todo entero del intervalo tiene la forma

n!+k

para algún

2\le k\le n-1.

Como

n!

es divisible por

k,

también lo es

n!+k,

y

n!+k\gt k.

Por lo tanto, todos esos enteros son compuestos. (Para

n=2,

el intervalo está vacío). Así, no hay primos en el intervalo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every integer in the interval has the form

n!+k

for some

2\le k\le n-1.

Because

n!

is divisible by

k,

so is

n!+k,

and

n!+k\gt k.

Thus every such integer is composite. (For

n=2,

the interval is empty.) Hence there are no primes in the interval.

Therefore, the correct answer is A.