1969 AMC 12 第 6 题

Question

两个同心圆之间圆环的面积为

12\dfrac12\pi

平方英寸。大圆中与小圆相切的弦长（单位：英寸）为：

The area of the ring between two concentric circles is

12\dfrac12\pi

square inches. The length of a chord of the larger circle tangent to the smaller circle, in inches, is:

\dfrac5{\sqrt2}

5

5\sqrt2

10

10\sqrt2

若两个半径为

R

、

r

，则由面积可得

R^2-r^2=\frac{25}{2}

If the radii are

R

and

r,

the area gives

R^2-r^2=\frac{25}{2}

相切弦的一半、小圆半径和大圆半径组成直角三角形

Half the tangent chord, the smaller radius, and the larger radius form a right triangle

设两个半径为

R

与

r

。由圆环面积可得

\pi(R^2-r^2)=\frac{25}{2}\pi\text{。}

过切点的半径平分该弦。若弦长为

L

，则

\left(\frac L2\right)^2+r^2=R^2\text{。}

因此

L=2\sqrt{R^2-r^2}

，所以

L=2\sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt2

。

因此，正确答案是 C。

Let the radii be

R

and

r.

The ring area gives

\pi(R^2-r^2)=\frac{25}{2}\pi.

The radius to the tangent point bisects the chord. If its length is

L,

then

\left(\frac L2\right)^2+r^2=R^2.

Thus

L=2\sqrt{R^2-r^2},

so

L=2\sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt2.

Therefore, the correct answer is C.

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