1973 AMC 12 第 6 题

Question

若以

b

为底时，数码串

554

表示数码串

24

在

b

进制中所表示的数的平方，则把

b

写成

10

进制等于

If

554

is the base

b

representation of the square of the number whose base

b

representation is

24,

then

b,

when written in base

10,

equals

6

8

12

14

16

将

24_b

与

554_b

转化为十进制的多项式表达式

Translate

24_b

and

554_b

into base-ten polynomial expressions

解出所得二次方程后，注意含有数字

5

的进位制底数必须大于

5

After solving the resulting quadratic, enforce that a base containing digit

5

must exceed

5

在十进制中，

\begin{aligned} 24_b&=2b+4,\\ 554_b&=5b^2+5b+4 \end{aligned}\text{。}

因此

\begin{aligned} (2b+4)^2&=5b^2+5b+4,\\ b^2-11b-12&=0,\\ (b-12)(b+1)&=0 \end{aligned}\text{。}

底数为正且必须大于

5

，所以

b=12

。

所以正确答案是 C。

In base ten,

\begin{aligned} 24_b&=2b+4,\\ 554_b&=5b^2+5b+4. \end{aligned}

Therefore

\begin{aligned} (2b+4)^2&=5b^2+5b+4,\\ b^2-11b-12&=0,\\ (b-12)(b+1)&=0. \end{aligned}

A base is positive and must exceed

5,

so

b=12.

Therefore, the correct answer is C.

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