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1980 AMC 12 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

正数

x

满足不等式

\sqrt x\lt2x

的充要条件是

A positive number

x

satisfies the inequality

\sqrt x\lt2x

if and only if

x\gt\frac14

x\gt2

x\gt4

x\lt\frac14

x\lt4

答案：A

知识点：不等式根式

难度评级：1180

小提示：

利用不等式两边均为正数这一事实

Use the fact that both sides are positive

大提示：

在平方或解出

x

之前，先把两边除以

\sqrt x

Divide by

\sqrt x

before squaring or isolating

x

解答：

因为

x\gt0

，两边除以

\sqrt x

不改变不等号方向：

1\lt2\sqrt x\text{。}

因此

\sqrt x\gt\frac{1}{2}

，等价于

x\gt\frac{1}{4}

。

因此，正确答案是 A。

Because

x\gt0,

division by

\sqrt x

preserves the inequality:

1\lt2\sqrt x.

Thus

\sqrt x\gt\frac{1}{2},

which is equivalent to

x\gt\frac{1}{4}.

Therefore, the correct answer is A.

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