1971 AMC 12 第 6 题

Question

设符号

*

表示非零实数集合

S

上如下定义的二元运算：对任意

a

、

b\in S

，都有

a*b=2ab

。下列哪一项不正确？

Let

*

be a symbol denoting the binary operation on the set

S

of all nonzero real numbers as follows: for any

a,

b\in S,

a*b=2ab.

Which statement is not true?

*

在

S

上满足交换律

*

is commutative over

S

*

在

S

上满足结合律

*

is associative over

S

\frac{1}{2}

是

S

中运算

*

的单位元

\frac{1}{2}

is an identity element for

*

in

S

S

中每个元素关于

*

都有逆元

Every element of

S

has an inverse for

*

\frac{1}{2a}

是

S

中元素

a

关于

*

的逆元

\frac{1}{2a}

is an inverse for

*

of the element

a

of

S

答案：E

知识点：自定义运算代数变形

难度评级：1740

小提示：

先由

a*e=a

求单位元

e

First determine the identity

e

from

a*e=a

大提示：

a

的逆元

x

必须满足

a*x=\frac{1}{2}

An inverse

x

of

a

must satisfy

a*x=\frac{1}{2}

解答：

该运算满足交换律，并且

(a*b)*c=4abc=a*(b*c)\text{，}

所以它也满足结合律。其单位元为

\frac{1}{2}

。

a

的逆元必须满足

2ax=\frac{1}{2}

，故逆元为

x=\frac{1}{4a}

，而不是

\frac{1}{2a}

。

因此，正确答案为 E。

The operation is commutative, and

(a*b)*c=4abc=a*(b*c),

so it is associative. Its identity is

\frac{1}{2}.

The inverse of

a

must satisfy

2ax=\frac{1}{2},

so it is

x=\frac{1}{4a},

not

\frac{1}{2a}.

Therefore, the correct answer is E.

1971 AMC 12 第 6 题

答案：E

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

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