1974 AMC 12 第 23 题

Question

在附图中，

TP

与

T'Q

是半径为

r

的圆的两条平行切线，

T

和

T'

为切点。

PT''Q

是第三条切线，切点为

T''

。若

TP=4

，且

T'Q=9

，则

r

为

In the adjoining figure

TP

and

T'Q

are parallel tangents to a circle of radius

r,

with

T

and

T'

the points of tangency.

PT''Q

is a third tangent with

T''

as point of tangency. If

TP=4

and

T'Q=9

then

r

is

\frac{25}{6}

6

\frac{25}{4}

不同于

\frac{25}{6}

、

6

或

\frac{25}{4}

的数

a number other than

\frac{25}{6},

6,

or

\frac{25}{4}

无法由已知信息确定

not determinable from the given information

答案：B

知识点：切线直角三角形相似

难度评级：2070

小提示：

圆心位于同一外点所引两条切线夹角的角平分线上

The center lies on each angle bisector formed by two tangents from the same external point

大提示：

证明

\angle POQ=90^\circ

，并在

T''

处使用直角三角形斜边上高的定理

Show that

\angle POQ=90^\circ

and use the altitude-to-hypotenuse theorem at

T''

解答：

从每个外点出发，到切点的半径构成全等的直角三角形，所以

OP

与

OQ

分别平分两个切线夹角。由于另外两条切线平行，这两个半角之和为

90^\circ

，因此

\angle POQ=90^\circ

。

因此

OT''=r

是斜边

PQ

上的高。由同一外点引出的切线段相等，得

PT''=PT=4

和

QT''=QT'=9

。由斜边上高的定理，

r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36\text{，}

所以

r=6

。

因此，正确答案是 B。

The radii to the tangency points make congruent right triangles from each external point, so

OP

and

OQ

bisect the two tangent angles. Because the other two tangents are parallel, these half-angles add to

90^\circ;

hence

\angle POQ=90^\circ.

Thus

OT''=r

is the altitude to the hypotenuse

PQ.

Equal tangent segments give

PT''=PT=4

and

QT''=QT'=9.

The altitude theorem yields

r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36,

so

r=6.

Therefore, the correct answer is B.

1974 AMC 12 第 23 题

答案：B

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

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