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1974 AMC 12 第 22 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

22.

\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2

在

A

取何值时取得最小值？

The minimum value of

\sin\frac A2-\sqrt3\cos\frac A2

is attained when

A

is

-180^\circ

60^\circ

120^\circ

0^\circ

以上皆非

none of these

答案：E

知识点：三角恒等式三角学

难度评级：1780

小提示：

将正弦项与余弦项合并成一个振幅为

2

的平移正弦函数

Combine the sine and cosine into one shifted sine with amplitude

2

大提示：

使用

\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)

Use

\sin u-\sqrt3\cos u=2\sin(u-60^\circ)

解答：

令

u=\frac{A}{2}

。则

\sin u-\sqrt3\cos u

等于

2\sin(u-60^\circ)

。当

u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n

时取得最小值，所以

A=660^\circ+720^\circ n

其中

n

为整数。前四个选项都不具有这种形式。

因此，正确答案是 E。

Let

u=\frac{A}{2}.

Then

\sin u-\sqrt3\cos u

equals

2\sin(u-60^\circ).

Its minimum occurs when

u-60^\circ=270^\circ+360^\circ n,

so

A=660^\circ+720^\circ n

for an integer

n.

None of the first four choices has this form.

Therefore, the correct answer is E.

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