1974 AMC 12 Problema 23

Question

En la figura adjunta,

TP

y

T'Q

son tangentes paralelas a un círculo de radio

r,

y

T

y

T'

son los puntos de tangencia.

PT''Q

es una tercera tangente cuyo punto de tangencia es

T''

. Si

TP=4

y

T'Q=9

, entonces

r

es

In the adjoining figure

TP

and

T'Q

are parallel tangents to a circle of radius

r,

with

T

and

T'

the points of tangency.

PT''Q

is a third tangent with

T''

as point of tangency. If

TP=4

and

T'Q=9

then

r

is

\frac{25}{6}

6

\frac{25}{4}

un número distinto de

\frac{25}{6},

6,

o

\frac{25}{4}

a number other than

\frac{25}{6},

6,

or

\frac{25}{4}

no se puede determinar con la información dada

not determinable from the given information

Respuesta: B

Conceptos:recta tangente triángulo rectángulo semejanza

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

El centro está en cada bisectriz formada por dos tangentes desde el mismo punto exterior

The center lies on each angle bisector formed by two tangents from the same external point

Pista grande:

Demuestra que

\angle POQ=90^\circ

y usa en

T''

el teorema de la altura a la hipotenusa

Show that

\angle POQ=90^\circ

and use the altitude-to-hypotenuse theorem at

T''

Solución:

Los radios a los puntos de tangencia forman triángulos rectángulos congruentes desde cada punto exterior, por lo que

OP

y

OQ

bisecan los dos ángulos entre tangentes. Como las otras dos tangentes son paralelas, estos medios ángulos suman

90^\circ;

de ahí que

\angle POQ=90^\circ.

Así,

OT''=r

es la altura a la hipotenusa

PQ.

La igualdad de los segmentos tangentes da

PT''=PT=4

y

QT''=QT'=9.

El teorema de la altura produce

r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36,

por lo que

r=6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The radii to the tangency points make congruent right triangles from each external point, so

OP

and

OQ

bisect the two tangent angles. Because the other two tangents are parallel, these half-angles add to

90^\circ;

hence

\angle POQ=90^\circ.

Thus

OT''=r

is the altitude to the hypotenuse

PQ.

Equal tangent segments give

PT''=PT=4

and

QT''=QT'=9.

The altitude theorem yields

r^2=(PT'')(QT'')=4\cdot9=36,

so

r=6.

Therefore, the correct answer is B.