1975 AMC 12 第 19 题

Question

哪些正数

x

满足方程

(\log_3x)(\log_x5)=\log_35

？

Which positive numbers

x

satisfy the equation

(\log_3x)(\log_x5)=\log_35?

只有

3

和

5

3

and

5

only

只有

3

、

5

和

15

3,

5

and

15

only

只有形如

5^n\cdot3^m

的数，其中

n

和

m

为正整数

only numbers of the form

5^n\cdot3^m,

where

n

and

m

are positive integers

所有满足

x\ne1

的正数

all positive

x\ne1

以上都不对

none of these

答案：D

知识点：对数代数变形

难度评级：1450

小提示：

对左边的两个对数都使用换底公式

Apply the change-of-base formula to both logarithms on the left

大提示：

约分后，别忘了哪一个正数不能作为对数的底

After cancellation, remember which positive base is forbidden

解答：

当

x\gt0,\ x\ne1

时，换底公式将左边化为

\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}\text{。}

约去

\log x

后得到

\frac{\log5}{\log3}=\log_35

。当

x=1

时原式无定义。

因此，正确答案是 D。

For

x\gt0,\ x\ne1,

change of base makes the left side

\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}.

Canceling

\log x

leaves

\frac{\log5}{\log3}=\log_35.

The expression is undefined at

x=1.

Therefore, the correct answer is D.

1975 AMC 12 第 19 题

答案：D

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 19 题