1976 AMC 12 第 23 题

Question

对于满足

1\le k\lt n

的整数

k

和

n

，定义

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\text{。}

则

\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk

为整数

For integers

k

and

n

such that

1\le k\lt n,

let

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Then

\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk

is an integer

对所有

k

和

n

均成立

for all

k

and

n

对所有偶数

k

和

n

均成立，但并非对所有

k

和

n

均成立

for all even values of

k

and

n,

but not for all

k

and

n

对所有奇数

k

和

n

均成立，但并非对所有

k

和

n

均成立

for all odd values of

k

and

n,

but not for all

k

and

n

当

k=1

或

n-1

时成立，但并非对所有奇数

k

和

n

均成立

if

k=1

or

n-1,

but not for all odd values of

k

and

n

当

n

能被

k

整除时成立，但并非对所有偶数

k

和

n

均成立

if

n

is divisible by

k,

but not for all even values of

k

and

n

答案：A

知识点：组合代数变形

难度评级：2080

小提示：

把

n-2k-1

拆成

(n-k)-(k+1)

Split

n-2k-1

into

(n-k)-(k+1)

大提示：

尝试把原式改写成两个相邻二项式系数之差

Try rewriting the expression as a difference of two adjacent binomial coefficients

解答：

利用

\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk\text{，}

并写成

\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1\text{，}

原式化为

\binom n{k+1}-\binom nk\text{。}

对每一组允许的

k

和

n

，这都是整数。

所以正确答案是 A。

Using

\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,

and writing

\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,

the given expression becomes

\binom n{k+1}-\binom nk.

This is an integer for every permitted

k

and

n.

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 第 23 题

答案：A

难度评级：2080

小提示：

大提示：

解答：

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