1976 AMC 12 第 22 题

Question

给定一个边长为

s

的等边三角形。考虑该三角形所在平面内所有满足下列条件的点

P

：

P

到三个顶点的距离平方和为定值

a

。这个轨迹

Given an equilateral triangle with side of length

s,

consider the locus of all points

P

in the plane of the triangle such that the sum of the squares of the distances from

P

to the vertices of the triangle is a fixed number

a.

This locus

当

a\gt s^2

时是一个圆

is a circle if

a\gt s^2

当

a=2s^2

时只含三个点，而当

a\gt2s^2

时是一个圆

contains only three points if

a=2s^2

and is a circle if

a\gt2s^2

仅当

s^2\lt a\lt2s^2

时是一个半径为正的圆

is a circle with positive radius only if

s^2\lt a\lt2s^2

无论

a

取何值，都只含有限个点

contains only a finite number of points for any value of

a

以上都不是

is none of these

答案：A

知识点：重心圆距离公式

难度评级：2110

小提示：

设

G

为重心，用

PG^2

表示这个距离平方和

Let

G

be the centroid and express the sum using

PG^2

大提示：

对于等边三角形，这个和等于

3PG^2+s^2

For an equilateral triangle, the sum equals

3PG^2+s^2

解答：

设三个顶点为

A

、

B

、

C

，重心为

G

，并令

T=GA^2+GB^2+GC^2

。重心恒等式给出

PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T\text{。}

在等边三角形中，每个

GA=\frac{s}{\sqrt3}

，所以

T=s^2

。因此

3PG^2=a-s^2

。当

a\lt s^2

时轨迹为空集；当

a=s^2

时只有一个点；当

a\gt s^2

时是半径为正的圆。

所以正确答案是 A。

For vertices

A,

B,

and

C

with centroid

G,

put

T=GA^2+GB^2+GC^2.

The standard centroid identity gives

PA^2+PB^2+PC^2=3PG^2+T.

In an equilateral triangle, each

GA=\frac{s}{\sqrt3},

so

T=s^2.

Hence

3PG^2=a-s^2.

The locus is empty for

a\lt s^2,

one point for

a=s^2,

and a circle of positive radius for

a\gt s^2.

Therefore, the correct answer is A.

1976 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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