1976 AMC 12 Problema 23

Question

Para enteros

k

y

n

tales que

1\le k\lt n,

sea

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Entonces

\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk

es un entero

For integers

k

and

n

such that

1\le k\lt n,

let

\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Then

\left(\frac{n-2k-1}{k+1}\right)\binom nk

is an integer

para todos

k

y

n

for all

k

and

n

para todos los valores pares de

k

y

n,

pero no para todos

k

y

n

for all even values of

k

and

n,

but not for all

k

and

n

para todos los valores impares de

k

y

n,

pero no para todos

k

y

n

for all odd values of

k

and

n,

but not for all

k

and

n

si

k=1

o

n-1,

pero no para todos los valores impares de

k

y

n

if

k=1

or

n-1,

but not for all odd values of

k

and

n

si

n

es divisible por

k,

pero no para todos los valores pares de

k

y

n

if

n

is divisible by

k,

but not for all even values of

k

and

n

Respuesta: A

Conceptos:combinaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Separa

n-2k-1

como

(n-k)-(k+1)

Split

n-2k-1

into

(n-k)-(k+1)

Pista grande:

Intenta reescribir la expresión como una diferencia de dos coeficientes binomiales adyacentes

Try rewriting the expression as a difference of two adjacent binomial coefficients

Solución:

Usando

\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,

y escribiendo

\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,

la expresión dada se convierte en

\binom n{k+1}-\binom nk.

Esto es un entero para todo par permitido

k

y

n.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Using

\binom n{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom nk,

and writing

\frac{n-2k-1}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}-1,

the given expression becomes

\binom n{k+1}-\binom nk.

This is an integer for every permitted

k

and

n.

Therefore, the correct answer is A.