1978 AMC 12 第 20 题

Question

若

a

、

b

、

c

是非零实数，满足

\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}\text{，} \end{aligned}

且

x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}\text{，}

并且

x\lt0

，则

x

等于

If

a,

b,

c

are nonzero real numbers such that

\begin{aligned} \frac{a+b-c}{c} &=\frac{a-b+c}{b}\\ &=\frac{-a+b+c}{a}, \end{aligned}

and

x=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc},

and

x\lt0,

then

x

equals

-1

-2

-4

-6

-8

答案：A

知识点：方程组分类讨论对称性（代数）

难度评级：2100

小提示：

令三个相等的分式都等于

t

，再两两比较所得方程

Set the three equal fractions to

t

and compare pairs of the resulting equations

大提示：

比较可推出

a=b=c

或

a+b+c=0

；再利用

x

的符号

The comparison forces either

a=b=c

or

a+b+c=0

; use the sign of

x

解答：

令它们的公共值为

t

。由前两个方程可得

(b-c)(t+2)=0\text{，}

循环比较可得另外两个类似关系。因此要么

a=b=c

，此时

x=8

；要么

t=-2

。在后一种情形下，

a+b=-c

、

b+c=-a

、

c+a=-b

，所以

x=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1\text{。}

条件

x\lt0

选出后一数值。

因此，正确答案是 A。

Let the common value be

t.

The first two resulting equations imply

(b-c)(t+2)=0,

and cyclic comparisons give the analogous relations. Thus either

a=b=c,

which gives

x=8,

or

t=-2.

In the latter case

a+b=-c,

b+c=-a,

and

c+a=-b,

so

x=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc}=-1.

The condition

x\lt0

selects the latter value.

Therefore, the correct answer is A.

1978 AMC 12 第 20 题

答案：A

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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