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1978 AMC 12 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

等边三角形

ABE

的顶点

E

位于正方形

ABCD

内部，

F

是对角线

BD

与线段

AE

的交点。若

AB

的长度为

\sqrt{1+\sqrt3}

，则

\triangle ABF

的面积为

Vertex

E

of equilateral triangle

ABE

is in the interior of square

ABCD,

and

F

is the point of intersection of diagonal

BD

and line segment

AE.

If length

AB

is

\sqrt{1+\sqrt3},

then the area of

\triangle ABF

is

1

\frac{\sqrt2}{2}

\frac{\sqrt3}{2}

4-2\sqrt3

\frac12+\frac{\sqrt3}{4}

答案：C

知识点：坐标几何等边三角形面积

难度评级：2040

小提示：

取

A=(0,0)

、

B=(s,0)

，其中

s=AB

Place

A=(0,0)

and

B=(s,0),

where

s=AB

大提示：

求直线

AE:\ y=\sqrt3x

与

BD:\ y=s-x

的交点

Find the intersection of

AE:\ y=\sqrt3x

and

BD:\ y=s-x

解答：

令

A=(0,0)

、

B=(s,0)

、

D=(0,s)

，其中

s=\sqrt{1+\sqrt3}

。经过

F

的两条直线的方程为

\begin{aligned} AE:\quad y&=\sqrt3x,\\ BD:\quad y&=s-x\text{。} \end{aligned}

因此

F

到

AB

的高为

\frac{s\sqrt3}{1+\sqrt3}

。于是

[\triangle ABF] =\frac{s^2\sqrt3}{2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}\text{。}

因此，正确答案是 C。

Let

A=(0,0),

B=(s,0),

and

D=(0,s),

where

s=\sqrt{1+\sqrt3}.

The two lines containing

F

have equations

\begin{aligned} AE:\quad y&=\sqrt3x,\\ BD:\quad y&=s-x. \end{aligned}

Hence the altitude of

F

above

AB

is

\frac{s\sqrt3}{1+\sqrt3}.

Therefore

[\triangle ABF] =\frac{s^2\sqrt3}{2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}.

Therefore, the correct answer is C.

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