1978 AMC 12 Problema 23

Question

El vértice

E

del triángulo equilátero

ABE

está en el interior del cuadrado

ABCD,

y

F

es el punto de intersección de la diagonal

BD

y el segmento

AE.

Si la longitud

AB

es

\sqrt{1+\sqrt3},

entonces el área de

\triangle ABF

es

Vertex

E

of equilateral triangle

ABE

is in the interior of square

ABCD,

and

F

is the point of intersection of diagonal

BD

and line segment

AE.

If length

AB

is

\sqrt{1+\sqrt3},

then the area of

\triangle ABF

is

1

\frac{\sqrt2}{2}

\frac{\sqrt3}{2}

4-2\sqrt3

\frac12+\frac{\sqrt3}{4}

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero área

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Ubica

A=(0,0)

y

B=(s,0),

donde

s=AB

Place

A=(0,0)

and

B=(s,0),

where

s=AB

Pista grande:

Halla la intersección de

AE:\ y=\sqrt3x

y

BD:\ y=s-x

Find the intersection of

AE:\ y=\sqrt3x

and

BD:\ y=s-x

Solución:

Sean

A=(0,0),

B=(s,0),

y

D=(0,s),

donde

s=\sqrt{1+\sqrt3}.

Las dos rectas que contienen a

F

tienen ecuaciones

\begin{aligned} AE:\quad y&=\sqrt3x,\\ BD:\quad y&=s-x. \end{aligned}

Por lo tanto, la altura de

F

sobre

AB

es

\frac{s\sqrt3}{1+\sqrt3}.

Así,

[\triangle ABF] =\frac{s^2\sqrt3}{2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

A=(0,0),

B=(s,0),

and

D=(0,s),

where

s=\sqrt{1+\sqrt3}.

The two lines containing

F

have equations

\begin{aligned} AE:\quad y&=\sqrt3x,\\ BD:\quad y&=s-x. \end{aligned}

Hence the altitude of

F

above

AB

is

\frac{s\sqrt3}{1+\sqrt3}.

Therefore

[\triangle ABF] =\frac{s^2\sqrt3}{2(1+\sqrt3)} =\frac{\sqrt3}{2}.

Therefore, the correct answer is C.