1979 AMC 12 第 21 题

Question

一个直角三角形的斜边长为

h

，其内切圆半径为

r

。圆的面积与三角形面积之比为

The length of the hypotenuse of a right triangle is

h,

and the radius of the inscribed circle is

r.

The ratio of the area of the circle to the area of the triangle is

\frac{\pi r}{h+2r}

\frac{\pi r}{h+r}

\frac{\pi r}{2h+r}

\frac{\pi r^2}{h^2+r^2}

以上都不是

none of these

使用三角形面积公式

K=rs

Use the formula

K=rs

for a triangle’s area

对于直角三角形，把两条直角边之和用

h

与

r

表示

For a right triangle, relate the sum of the legs to

h

and

r

若两条直角边长为

x

和

y

，则直角三角形的内切圆半径恒等式为

x+y=h+2r

。因此半周长为

s=\frac{x+y+h}{2}=h+r\text{。}

三角形的面积为

rs=r(h+r)

，圆的面积为

\pi r^2

。两者之比为

\frac{\pi r}{h+r}

。

因此，正确答案是 B。

If the legs are

x

and

y,

then the right-triangle inradius identity is

x+y=h+2r.

Hence the semiperimeter is

s=\frac{x+y+h}{2}=h+r.

The triangle’s area is

rs=r(h+r),

while the circle’s area is

\pi r^2.

Their ratio is

\frac{\pi r}{h+r}.

Therefore, the correct answer is B.

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