1981 AMC 12 第 23 题

Question

等边

\triangle ABC

内接于一个圆。另一个圆在

T

处与外接圆内切，并与边

AB

和

AC

分别相切于点

P

和

Q

。若边

BC

的长度为

12

，则线段

PQ

的长度为

Equilateral

\triangle ABC

is inscribed in a circle. A second circle is tangent internally to the circumcircle at

T

and tangent to sides

AB

and

AC

at points

P

and

Q.

If side

BC

has length

12,

then segment

PQ

has length

6

6\sqrt3

8

8\sqrt3

9

答案：C

知识点：等边三角形相切圆相似

难度评级：1910

小提示：

利用对称性，将两个圆心和

T

都置于从

A

引出的高上

Use symmetry to place both circle centers and

T

on the altitude from

A

大提示：

利用

30^\circ

半角（其顶点为

A

），把小圆半径与外接圆半径联系起来

Relate the smaller circle’s radius to the circumradius using the

30^\circ

half-angle at

A

解答：

等边三角形的外接圆半径为

R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3

。若小圆半径为

r

，其圆心在高上，离顶点的距离为

2r

，这个顶点是

A

，因为圆心到任一边的距离为

r

，而半角为

30^\circ

。由下端的内切关系可得

2r=2R-r

，所以

r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}

。两边上的切点之间的距离为

PQ=r\sqrt3=8

。

所以正确答案是 C。

The circumradius of the equilateral triangle is

R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

If the smaller radius is

r,

its center lies on the altitude and is

2r

from

A,

because its distance to either side is

r

and the half-angle is

30^\circ.

Internal tangency at the bottom gives

2r=2R-r,

so

r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.

The tangency points on the two sides are separated by

PQ=r\sqrt3=8.

Therefore, the correct answer is C.

1981 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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