1981 AMC 12 第 29 题

Question

若

a\gt1

，则方程

\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x

的所有实数解之和等于

If

a\gt1,

then the sum of the real solutions of

\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x

is equal to

\sqrt a-1

\frac{\sqrt a-1}{2}

\sqrt{a-1}

\frac{\sqrt{a-1}}2

\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}

答案：E

知识点：根式二次方程分类讨论

难度评级：2040

小提示：

主值平方根迫使

x\ge0

The principal square root forces

x\ge0

大提示：

平方一次后，分解一个含有

\sqrt{a+x}-x

的差

After one squaring, factor a difference involving

\sqrt{a+x}-x

解答：

由于

x\ge0

，平方一次得到

a-\sqrt{a+x}=x^2

。令

y=\sqrt{a+x}

。则

y=a-x^2

，且

a=y^2-x

，所以

0=(y+x)(y-x-1)\text{。}

由于

y+x\gt0

，可得

y=x+1

，即

\sqrt{a+x}=x+1

。因此

a+x=x^2+2x+1

，且

x^2+x+1-a=0\text{。}

唯一的非负根为

x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}

，并且它满足原方程。因此它也就是所有实数解之和。

所以正确答案是 E。

Since

x\ge0,

squaring once gives

a-\sqrt{a+x}=x^2.

Let

y=\sqrt{a+x}.

Then

y=a-x^2

and

a=y^2-x,

so

0=(y+x)(y-x-1).

Since

y+x\gt0,

we have

y=x+1,

or

\sqrt{a+x}=x+1.

Therefore

a+x=x^2+2x+1

and

x^2+x+1-a=0.

The only nonnegative root is

x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2},

and it satisfies the original equation. It is therefore also the sum of all real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

1981 AMC 12 第 29 题

答案：E

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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