1982 AMC 12 第 22 题

Question

在一条宽为

w

的狭窄小巷中，有一架长为

a

的梯子，其底端位于两墙之间的点

P

。梯子靠在一面墙的点

Q

时，该点离地高度为

k

，梯子与地面成

45^\circ

角。梯子靠在另一面墙的点

R

时，该点离地高度为

h

，梯子与地面成

75^\circ

角。巷宽

w

等于

In a narrow alley of width

w

a ladder of length

a

is placed with its foot at a point

P

between the walls. Resting against one wall at

Q,

a distance

k

above the ground, the ladder makes a

45^\circ

angle with the ground. Resting against the other wall at

R,

a distance

h

above the ground, the ladder makes a

75^\circ

angle with the ground. The width

w

is equal to

a

RQ

k

\frac{h+k}{2}

h

答案：E

知识点：三角学直角三角形三角恒等式

难度评级：1910

小提示：

用余弦表示小巷的两段水平距离

Express the two horizontal portions of the alley using cosines

大提示：

比较

\cos75^\circ+\cos45^\circ

与

\sin75^\circ

Compare

\cos75^\circ+\cos45^\circ

with

\sin75^\circ

解答：

点

P

到两面墙的水平距离分别为

a\cos75^\circ

和

a\cos45^\circ

，所以

w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ)

。由和差化积公式，

\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ

。又因为

h=a\sin75^\circ

，所以

w=h

。

因此，正确答案为 E。

The horizontal distances from

P

to the walls are

a\cos75^\circ

and

a\cos45^\circ,

so

w=a(\cos75^\circ+\cos45^\circ).

The sum-to-product identity gives

\cos75^\circ+\cos45^\circ=\sin75^\circ.

Since

h=a\sin75^\circ,

w=h.

Therefore, the correct answer is E.

1982 AMC 12 第 22 题

答案：E

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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