1982 AMC 12 Problema 23

Question

Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros consecutivos, y el ángulo mayor es el doble del ángulo menor. El coseno del ángulo menor es

The lengths of the sides of a triangle are consecutive integers, and the largest angle is twice the smallest angle. The cosine of the smallest angle is

\frac34

\frac7{10}

\frac23

\frac9{14}

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:ley de los senos ley de los cosenos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sean el ángulo menor y el mayor

\theta

y

2\theta

, respectivamente

Let the smallest and largest angles be

\theta

and

2\theta

Pista grande:

Usa la ley de los senos para comparar el lado más corto con el más largo

Use the law of sines to compare the shortest and longest consecutive sides

Solución:

Sean los lados consecutivos

n,

n+1,

n+2,

opuestos a los ángulos

\theta,

\phi,

2\theta.

Por la ley de los senos,

\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta.

La ley de los cosenos aplicada al ángulo menor también da

\cos\theta=\frac{n^2+6n+5}{2(n+1)(n+2)}.

Al igualar estas expresiones se obtiene

n^2-3n-4=0,

por lo que

n=4.

Así, los lados son

4,

5,

6

y

\cos\theta=\frac{6}{2\cdot4}=\frac{3}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the consecutive sides be

n,

n+1,

n+2,

opposite angles

\theta,

\phi,

2\theta.

By the law of sines,

\frac{n+2}{n}=\frac{\sin2\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta.

The law of cosines at the smallest angle also gives

\cos\theta=\frac{n^2+6n+5}{2(n+1)(n+2)}.

Equating these expressions yields

n^2-3n-4=0,

so

n=4.

Hence the sides are

4,

5,

6

and

\cos\theta=\frac{6}{2\cdot4}=\frac{3}{4}.

Therefore, the correct answer is A.