1982 AMC 12 第 7 题

Question

若运算

x*y

定义为

x*y=(x+1)(y+1)-1

，则下列哪一项是错误的？

If the operation

x*y

is defined by

x*y=(x+1)(y+1)-1,

then which one of the following is false?

对所有实数

x

和

y

，都有

x*y=y*x

。

x*y=y*x

for all real

x

and

y.

对所有实数

x

、

y

和

z

，

x*(y+z)

等于

(x*y)+(x*z)

。

x*(y+z)

equals

(x*y)+(x*z)

for all real

x,

y,

and

z.

对所有实数

x

，

(x-1)*(x+1)

等于

(x*x)-1

。

(x-1)*(x+1)

equals

(x*x)-1

for all real

x.

对所有实数

x

，都有

x*0=x

。

x*0=x

for all real

x.

对所有实数

x

、

y

和

z

，都有

x*(y*z)=(x*y)*z

。

x*(y*z)=(x*y)*z

for all real

x,

y,

and

z.

答案：B

知识点：自定义运算分配律反例

难度评级：1390

小提示：

先将该运算化简为

x+y+xy

First simplify the operation to

x+y+xy

大提示：

用

x=1

和

y=z=0

检验所给的分配律

Test the proposed distributive law with

x=1

and

y=z=0

解答：

因为

x*y=x+y+xy

，该运算满足交换律，单位元为

0

，并且各数加

1

后会转化为普通乘法。因此它满足结合律，直接展开也能验证 C。当

x=1

且

y=z=0

时，命题 B 不成立：左边为

1*0=1

，而右边为

(1*0)+(1*0)=2

。所以 B 错误。

所以正确答案是 B。

Since

x*y=x+y+xy,

the operation is commutative, has identity

0,

and becomes ordinary multiplication after adding

1.

Thus it is associative, and direct expansion also verifies C. Statement B fails when

x=1

and

y=z=0:

its left side is

1*0=1,

but its right side is

(1*0)+(1*0)=2.

Hence B is false.

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 第 7 题

答案：B

难度评级：1390

小提示：

大提示：

解答：

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