1970 AMC 12 第 7 题

Question

在边长为

s

的正方形

ABCD

内，分别以

A

和

B

为圆心、以

s

为半径画四分之一圆弧。两条圆弧在正方形内部交于点

X

。点

X

到边

CD

的距离是多少？

Inside square

ABCD

with side

s,

quarter-circle arcs with radii

s

and centers at

A

and

B

are drawn. These arcs intersect at a point

X

inside the square. How far is

X

from side

CD?

\tfrac12s(\sqrt3+4)

\tfrac12s\sqrt3

\tfrac12s(1+\sqrt3)

\tfrac12s(\sqrt3-1)

\tfrac12s(2-\sqrt3)

答案：E

知识点：等边三角形高线正方形（几何）圆

难度评级：1980

小提示：

两条连接到

X

的半径与边

AB

构成一个等边三角形

The two radii to

X

and side

AB

form an equilateral triangle

大提示：

从

X

到

AB

的高为

\frac{s\sqrt3}{2}

；用正方形的高减去它

The altitude from

X

to

AB

is

\frac{s\sqrt3}{2}

; subtract it from the square’s height

解答：

因为

AX=BX=AB=s

，所以三角形

ABX

是等边三角形。因此

X

到

AB

的垂直距离为

\frac{s\sqrt3}{2}

。平行边

AB

与

CD

之间的距离为

s

，所以所求距离为

s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3)\text{。}

因此，正确答案是 E。

Since

AX=BX=AB=s,

triangle

ABX

is equilateral. Thus the perpendicular distance from

X

to

AB

is

\frac{s\sqrt3}{2}.

The distance between the parallel sides

AB

and

CD

is

s,

so the requested distance is

s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3).

Therefore, the correct answer is E.

1970 AMC 12 第 7 题

答案：E

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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