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1989 AMC 12 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

在

\triangle ABC

中，

\angle A=100^\circ

、

\angle B=50^\circ

、

\angle C=30^\circ

，

AH

是高，

BM

是中线。则

\angle MHC=

In

\triangle ABC,

\angle A=100^\circ,

\angle B=50^\circ,

\angle C=30^\circ,

AH

is an altitude, and

BM

is a median. Then

\angle MHC=

15^\circ

22.5^\circ

30^\circ

40^\circ

45^\circ

答案：C

知识点：中线（几何）高线导角

难度评级：1560

小提示：

比较从

H

到中点

M

的水平和竖直变化量

Compare the horizontal and vertical changes from

H

to midpoint

M

大提示：

两个变化量分别是直角三角形

AHC

相应直角边的一半

Both changes are half the corresponding legs of right triangle

AHC

解答：

由于

M

是

AC

的中点，从

H

到

M

的水平变化为

\frac{HC}{2}

，竖直变化为

\frac{AH}{2}

。因此

\begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH \end{aligned}\text{。}

所以

\angle MHC=\angle C=30^\circ

。

所以正确答案是 C。

Because

M

is the midpoint of

AC,

the horizontal change from

H

to

M

is

\frac{HC}{2},

while the vertical change is

\frac{AH}{2}.

Thus

\begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned}

Hence

\angle MHC=\angle C=30^\circ.

Thus the correct answer is C.

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