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1961 AMC 12 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

展开式

\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6

的第三项化简后为：

When simplified, the third term in the expansion of

\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6

is:

\dfrac{15}{x}

-\dfrac{15}{x}

-\dfrac{6x^2}{a^9}

\dfrac{20}{a^3}

-\dfrac{20}{a^3}

答案：A

知识点：二项式定理指数代数变形

难度评级：1280

小提示：

第三项中取了两次二项式的第二项

The third term uses two copies of the second binomial term

大提示：

使用系数

\binom62

，再化简

a

与

x

的幂

Use the coefficient

\binom62

and simplify the powers of

a

and

x

解答：

第三项为

\begin{aligned} &\binom62\left(\frac a{\sqrt x}\right)^4 \left(-\frac{\sqrt x}{a^2}\right)^2\\ &\qquad=15\cdot\frac{a^4}{x^2}\cdot\frac{x}{a^4} =\frac{15}{x} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 A。

The third term is

\begin{aligned} &\binom62\left(\frac a{\sqrt x}\right)^4 \left(-\frac{\sqrt x}{a^2}\right)^2\\ &\qquad=15\cdot\frac{a^4}{x^2}\cdot\frac{x}{a^4} =\frac{15}{x}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

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