1959 AMC 12 第 7 题

Question

一个直角三角形的三边为

a

、

a+d

、

a+2d

，其中

a

和

d

均为正数。

a

与

d

的比为：

The sides of a right triangle are

a,

a+d,

and

a+2d,

with

a

and

d

both positive. The ratio of

a

to

d

is:

1{:}3

1{:}4

2{:}1

3{:}1

3{:}4

最长边

a+2d

必为斜边

The longest side

a+2d

must be the hypotenuse

应用勾股定理，并将所得关于

\frac{a}{d}

的二次式因式分解

Apply the Pythagorean theorem and factor the resulting quadratic in

\frac{a}{d}

由勾股定理得

a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2\text{。}

化简得

\begin{aligned} a^2-2ad-3d^2 &=0,\\ (a-3d)(a+d) &=0 \end{aligned}\text{。}

因为二者为正，所以排除

a=-d

，故

a=3d

。

因此比为

3:1

，正确答案是 D。

The Pythagorean theorem gives

a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2.

Simplifying,

\begin{aligned} a^2-2ad-3d^2 &=0,\\ (a-3d)(a+d) &=0. \end{aligned}

Positivity excludes

a=-d,

so

a=3d.

Thus the ratio is

3:1,

and the correct answer is D.

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