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1983 AMC 12 第 10 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

线段 ABAB 既是一个半径为 11 的圆的直径，也是等边三角形 ABCABC 的一条边。该圆还分别在点 DD 和 EE 处与 ACAC 和 BCBC 相交。AEAE 的长度为
Segment ABAB is both a diameter of a circle of radius 11 and a side of an equilateral triangle ABC.ABC. The circle also intersects ACAC and BCBC at points DD and E,E, respectively. The length of AEAE is
32\frac32
53\frac53
32\frac{\sqrt3}{2}
3\sqrt3
2+32\frac{2+\sqrt3}{2}
答案：D
知识点：圆圆周角等边三角形特殊直角三角形
难度评级：1660
小提示：
由于 ABAB 是直径，所以 ∠AEB\angle AEB 是直角
Because ABAB is a diameter, ∠AEB\angle AEB is a right angle
大提示：
三角形 ABEABE 是一个斜边 AB=2AB=2 的 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ 三角形
Triangle ABEABE is a 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ triangle with hypotenuse AB=2AB=2
解答：
由于 EE 位于以 ABAB 为直径的圆上，所以 ∠AEB=90∘\angle AEB=90^\circ。又因为 ABCABC 是等边三角形，所以 ∠ABE=60∘\angle ABE=60^\circ。因此 ABEABE 是一个斜边 AB=2AB=2 的 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ 三角形，所以 AE=3AE=\sqrt3。
所以正确答案是 D。
Since EE is on the circle with diameter AB,AB, ∠AEB=90∘.\angle AEB=90^\circ. Also ∠ABE=60∘\angle ABE=60^\circ because ABCABC is equilateral. Thus ABEABE is a 30∘30^\circ-60∘60^\circ-90∘90^\circ triangle with hypotenuse AB=2,AB=2, so AE=3.AE=\sqrt3.
Therefore, the correct answer is D.

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