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1983 AMC 12 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

设

f

为一个多项式函数，且对所有实数

x

，都有

f(x^2+1)=x^4+5x^2+3\text{。}

则对所有实数

x

，

f(x^2-1)

为

Let

f

be a polynomial function such that, for all real

x,

f(x^2+1)=x^4+5x^2+3.

For all real

x,

f(x^2-1)

is

x^4+5x^2+1

x^4+x^2-3

x^4-5x^2+1

x^4+x^2+3

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：多项式换元法代数变形

难度评级：1950

小提示：

将右边改写为关于

x^2+1

的多项式

Rewrite the right side as a polynomial in

x^2+1

大提示：

令

t=x^2+1

，得到

f(t)=t^2+3t-1

Setting

t=x^2+1

gives

f(t)=t^2+3t-1

解答：

令

t=x^2+1

，则

\begin{aligned} x^4+5x^2+3 &=(t-1)^2\\ &\quad+5(t-1)+3\\ &=t^2+3t-1 \end{aligned}\text{。}

因此

f(t)=t^2+3t-1

。代入

t=x^2-1

，得到

\begin{aligned} f(x^2-1) &=(x^2-1)^2\\ &\quad+3(x^2-1)-1\\ &=x^4+x^2-3 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

With

t=x^2+1,

\begin{aligned} x^4+5x^2+3 &=(t-1)^2\\ &\quad+5(t-1)+3\\ &=t^2+3t-1. \end{aligned}

Hence

f(t)=t^2+3t-1.

Substituting

t=x^2-1

gives

\begin{aligned} f(x^2-1) &=(x^2-1)^2\\ &\quad+3(x^2-1)-1\\ &=x^4+x^2-3. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

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