1983 AMC 12 第 17 题

Question

右图在复平面上标出了若干个数。图中的圆是以原点为圆心的单位圆。其中一个数是

F

的倒数。它是哪一个？

The diagram to the right shows several numbers in the complex plane. The circle is the unit circle centered at the origin. One of these numbers is the reciprocal of

F.

Which one?

A

B

C

D

E

答案：C

知识点：复数坐标几何变换

难度评级：1900

小提示：

若

z=re^{i\theta}

，则其倒数的模为

\frac{1}{r}

For

z=re^{i\theta},

its reciprocal has modulus

\frac{1}{r}

大提示：

取倒数会把辐角关于实轴反射，并将点移到单位圆内部

The reciprocal reflects the argument across the real axis and moves inside the unit circle

解答：

若

F=re^{i\theta}

，则

\frac{1}{F}=r^{-1}e^{-i\theta}

。由于

F

位于第一象限且在单位圆外，其倒数位于第四象限的单位圆内，辐角与原来关于实轴对称。只有点

C

具有这些性质。

所以正确答案是 C。

If

F=re^{i\theta},

then

\frac{1}{F}=r^{-1}e^{-i\theta}.

Because

F

is outside the unit circle in quadrant I, its reciprocal is inside the unit circle in quadrant IV, with the reflected argument. Only point

C

has those properties.

Therefore, the correct answer is C.

1983 AMC 12 第 17 题

答案：C

难度评级：1900

小提示：

大提示：

解答：

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