1984 AMC 12 Problema 21

Question

El número de ternas

(a,b,c)

de enteros positivos que satisfacen simultáneamente las ecuaciones

\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23 \end{aligned}

es

The number of triples

(a,b,c)

of positive integers which satisfy the simultaneous equations

\begin{aligned} ab+bc&=44,\\ ac+bc&=23. \end{aligned}

is

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica factor sustitución

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Factoriza la segunda ecuación como

c(a+b)=23

Factor the second equation as

c(a+b)=23

Pista grande:

Usa que

23

es primo y que las variables son positivas para determinar

c

y

a+b

Use the primality of

23

and positivity to determine

c

and

a+b

Solución:

Como

c(a+b)=23

y todas las variables son enteros positivos,

c=1

y

a+b=23.

Sustituye

b=23-a

en

ab+b=44.

Entonces

(23-a)(a+1)=44,

o bien

a^2-22a+21=0,

por lo que

a=1

o

21.

Cada valor da un

b

positivo, y produce exactamente dos ternas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

c(a+b)=23

and all variables are positive integers,

c=1

and

a+b=23.

Put

b=23-a

in

ab+b=44.

Then

(23-a)(a+1)=44,

or

a^2-22a+21=0,

so

a=1

or

21.

Each gives a positive

b,

producing exactly two triples.

Therefore, the correct answer is C.