1985 AMC 12 第 15 题

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15.

若正数

a

和

b

满足

a^b=b^a

，且

b=9a

，则

a

的值为

a

and

b

are positive numbers such that

a^b=b^a

and

b=9a,

then the value of

a

9

\frac19

\sqrt[9]{9}

\sqrt[3]{9}

\sqrt[4]{3}

将

b=9a

代入

a^b=b^a

Substitute

b=9a

into

a^b=b^a

因为

a\gt0

，两边取正的

a

次方根并化简

Because

a\gt0,

take the

a

-th root and simplify

代入得到

a^{9a}=(9a)^a

。两边取正的

a

次方根，得

a^9=9a

，所以

a^8=9

。因此

a=9^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}

。

所以正确答案是 E。

Substitution gives

a^{9a}=(9a)^a.

Taking the positive

a

-th root yields

a^9=9a,

a^8=9.

Therefore

a=9^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}.

Thus the correct answer is E.

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