Si a y b son números positivos tales que a^b=b^a y b=9a, entonces el valor de a es

1985 AMC 12 Problema 15

Intenta el Problema 15 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

a

b

son números positivos tales que

a^b=b^a

b=9a,

entonces el valor de

a

a

and

b

are positive numbers such that

a^b=b^a

and

b=9a,

then the value of

a

9

\frac19

\sqrt[9]{9}

\sqrt[3]{9}

\sqrt[4]{3}

Sustituye

b=9a

a^b=b^a

Substitute

b=9a

into

a^b=b^a

Como

a\gt0,

toma la raíz

a

-ésima positiva y simplifica

Because

a\gt0,

take the

a

-th root and simplify

La sustitución da

a^{9a}=(9a)^a.

Al tomar la raíz

a

-ésima positiva se obtiene

a^9=9a,

así que

a^8=9.

Por tanto,

a=9^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}.

Así, la respuesta correcta es E.

Substitution gives

a^{9a}=(9a)^a.

Taking the positive

a

-th root yields

a^9=9a,

a^8=9.

Therefore

a=9^{\frac{1}{8}}=3^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{3}.

Thus the correct answer is E.