1985 AMC 12 Problema 19

Question

Considera las gráficas de

y=Ax^2

y

y^2+3=x^2+4y,

donde

A

es una constante positiva y

x

y

y

son variables reales. ¿En cuántos puntos se intersecan las dos gráficas?

Consider the graphs of

y=Ax^2

and

y^2+3=x^2+4y,

where

A

is a positive constant and

x

and

y

are real variables. In how many points do the two graphs intersect?

exactamente

4

exactly

4

exactamente

2

exactly

2

al menos

1,

pero la cantidad varía con los valores positivos de

A

at least

1,

but the number varies for different positive values of

A

0

para al menos un valor positivo de

A

0

for at least one positive value of

A

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:manipulación algebraica conteo de intersecciones cuadrática

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Usa

x^2=\frac{y}{A}

para eliminar

x^2

Use

x^2=\frac{y}{A}

to eliminate

x^2

Pista grande:

Demuestra que la cuadrática resultante tiene dos raíces

y

positivas y distintas

Show that the resulting quadratic has two distinct positive

y

-roots

Solución:

Al sustituir

x^2=\frac{y}{A}

en la segunda ecuación se obtiene

Ay^2-(4A+1)y+3A=0.

Su discriminante es

4A^2+8A+1\gt0.

Sus raíces tienen producto positivo

3

y suma positiva

\frac{4A+1}{A},

así que ambas son positivas y distintas. Para cada raíz

y,

la ecuación

x^2=\frac{y}{A}

da dos valores distintos de

x.

Por lo tanto, hay exactamente cuatro puntos de intersección.

La respuesta correcta es A.

Substituting

x^2=\frac{y}{A}

into the second equation gives

Ay^2-(4A+1)y+3A=0.

Its discriminant is

4A^2+8A+1\gt0.

Its roots have positive product

3

and positive sum

\frac{4A+1}{A},

so both roots are positive and distinct. For each root

y,

the equation

x^2=\frac{y}{A}

gives two distinct values of

x.

Thus there are exactly four intersection points.

Therefore the correct answer is A.