1985 AMC 12 第 21 题

Question

有多少个整数

x

满足方程

(x^2-x-1)^{x+2}=1\text{？}

How many integers

x

satisfy the equation

(x^2-x-1)^{x+2}=1?

2

3

4

5

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：分类讨论指数二次方程

难度评级：2070

小提示：

整数幂可以等于

1

：底数为

1

；底数为

-1

且指数为偶数；或非零底数的指数为

0

An integer power can equal

1

when the base is

1,

when the base is

-1

with even exponent, or when a nonzero base has exponent

0

大提示：

分别求解这三种情形，并检验每个候选值

Solve those three cases separately and check every candidate

解答：

若底数为

1

，则

x^2-x-1=1

，得到

x=-1

和

x=2

。若底数为

-1

，则

x(x-1)=0

；其中只有

x=0

使指数

x+2

为偶数。若指数为

0

，则

x=-2

，此时底数为

5

，所以也符合条件。因此四个解为

-2

、

-1

、

0

、

2

。

所以正确答案是 C。

If the base is

1,

then

x^2-x-1=1,

giving

x=-1

and

x=2.

If the base is

-1,

then

x(x-1)=0;

only

x=0

makes the exponent

x+2

even. If the exponent is

0,

then

x=-2,

and its base is

5,

so it also works. Thus the four solutions are

-2,

-1,

0,

and

2.

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 第 21 题

答案：C

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题