1988 AMC 12 第 23 题

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23.

四面体 ABCDABCD 的六条棱长分别为 77、1313、1818、2727、3636 和 4141 个单位。若棱 ABAB 的长度为 4141,则棱 CDCD 的长度为
The six edges of tetrahedron ABCDABCD measure 7,7, 13,13, 18,18, 27,27, 36,36, and 4141 units. If the length of edge ABAB is 41,41, then the length of edge CDCD is
77
1313
1818
2727
3636
答案:B
知识点:tetrahedron edges三角不等式case analysis
小提示:
长度为 77 的棱属于两个三角形面
The edge of length 77 belongs to two triangular faces
大提示:
在任意一个包含该棱的面中,另外两条棱的长度之差必须小于 77
In either face containing that edge, the other two edge lengths must differ by less than 77
解答:
对于包含长度为 77 的棱的一个面,另外两边之差必须小于 77。在其余长度中,满足此条件且互不重叠的配对只有 (13,18)(13,18) 和 (36,41)(36,41),所以长度为 2727 的棱与长度为 77 的棱相对。已知 AB=41AB=41,用三角不等式检验这两对长度的两种可能放置方式:使 ABAB 的对棱长度为 1818 的放置方式不成立,而有效的放置方式满足 CD=13CD=13。
因此,正确答案是 B。
For a face containing the edge 7,7, its other two sides must differ by less than 7.7. Among the remaining lengths, the only disjoint pairs with this property are (13,18)(13,18) and (36,41),(36,41), so edge 2727 is opposite edge 7.7. With AB=41,AB=41, the two possible placements of these pairs can be checked by the triangle inequalities; the placement making the edge opposite ABAB equal to 1818 fails, while the valid placement has CD=13.CD=13.
Thus the correct answer is B.
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