1989 AMC 12 Problema 10

Question

Considera la sucesión definida por

u_1=a

(cualquier número positivo) y

u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1},

n=1,

2,

3,

\ldots.

¿Para cuál valor de

n

debe cumplirse

u_n=a

?

Consider the sequence defined recursively by

u_1=a

(any positive number), and

u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1},

n=1,

2,

3,

\ldots.

For which of the following values of

n

must

u_n=a?

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15

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18

Calcula simbólicamente

u_2,u_3,

y

u_4

Compute

u_2,u_3,

and

u_4

symbolically

Busca el período de

x\mapsto-\frac{1}{x+1}

Look for the period of the transformation

x\mapsto-\frac{1}{x+1}

La sustitución directa da

\begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned}

La sucesión se repite cada

3

términos, así que

u_n=a

cuando

n\equiv1\pmod3.

Entre las opciones, solo

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tiene esa forma.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Direct substitution gives

\begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned}

The sequence therefore repeats every

3

terms, so

u_n=a

whenever

n\equiv1\pmod3.

Among the choices, only

16

has that form.

Thus the correct answer is C.

El Problema 10 en otros años