1990 AMC 12 第 21 题

Question

考虑一个棱锥

P\text{-}ABCD

，其底面

ABCD

是正方形，顶点

P

到

A

、

B

、

C

和

D

的距离相等。若

AB=1

，且

\angle APB=2\theta

，则该棱锥的体积为

Consider a pyramid

P\text{-}ABCD

whose base

ABCD

is square and whose vertex

P

is equidistant from

A,

B,

C,

and

D.

If

AB=1

and

\angle APB=2\theta,

then the volume of the pyramid is

\frac{\sin\theta}{6}

\frac{\cot\theta}{6}

\frac1{6\sin\theta}

\frac{1-\sin2\theta}{6}

\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}

答案：E

知识点：棱锥三角学 circumradius 体积

难度评级：2380

小提示：

在等腰三角形

APB

中表示

PA

，其中要利用弦长

AB

In isosceles triangle

APB,

express

PA

using the chord

AB

大提示：

把

PA

与棱锥的高以及正方形中心到顶点的距离联系起来

Relate

PA

to the pyramid height and the center-to-vertex distance of the square

解答：

令

R=PA=PB

。在等腰三角形

APB

中，

1=AB=2R\sin\theta\text{，}

所以

R=\frac{1}{2\sin\theta}

。若

h

为棱锥的高，则正方形中心到

A

的水平距离为

\frac{1}{\sqrt2}

，因此

\begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta} \end{aligned}\text{。}

所以

h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta}

，体积为

\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}

。

所以正确答案是 E。

Let

R=PA=PB.

In isosceles triangle

APB,

1=AB=2R\sin\theta,

so

R=\frac{1}{2\sin\theta}.

If

h

is the pyramid height, the horizontal distance from the square’s center to

A

is

\frac{1}{\sqrt2},

hence

\begin{aligned} h^2 &=R^2-\frac12\\ &=\frac{\cos2\theta}{4\sin^2\theta}. \end{aligned}

Thus

h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{2\sin\theta},

and the volume is

\frac13(1)h=\frac{\sqrt{\cos2\theta}}{6\sin\theta}.

Thus the correct answer is E.

1990 AMC 12 第 21 题

答案：E

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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