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1990 AMC 12 第 23 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

23.

若

x

、

y\gt0

、

\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3}

，且

xy=144

，则

\frac{x+y}{2}=

If

x,

y\gt0,

\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3},

and

xy=144,

then

\frac{x+y}{2}=

12\sqrt2

13\sqrt3

24

30

36

答案：B

知识点：对数 quadratic equation symmetric expression

难度评级：2130

小提示：

令

t=\log_yx

，则

\log_xy=\frac{1}{t}

Let

t=\log_yx,

so that

\log_xy=\frac{1}{t}

大提示：

t

的两个可能值表明，

x,y

中一个是另一个的立方

The resulting values of

t

show that one of

x,y

is the cube of the other

解答：

令

t=\log_yx

。则

t+\frac1t=\frac{10}{3}\text{，}

所以

3t^2-10t+3=0

，从而

t=3

或

\frac{1}{3}

。因此，

x,y

中一个是另一个的立方。设较小者为

u

。则

u^4=xy=144

，所以

u=2\sqrt3

，且

u^3=24\sqrt3

。因此

\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3\text{。}

所以正确答案是 B。

Let

t=\log_yx.

Then

t+\frac1t=\frac{10}{3},

so

3t^2-10t+3=0,

giving

t=3

or

\frac{1}{3}.

Thus one of

x,y

is the cube of the other. Let the smaller be

u.

Then

u^4=xy=144,

so

u=2\sqrt3

and

u^3=24\sqrt3.

Therefore

\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3.

Thus the correct answer is B.

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