1990 AMC 12 Problema 23

Question

Si

x,

y\gt0,

\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3},

y

xy=144,

entonces

\frac{x+y}{2}=

If

x,

y\gt0,

\log_yx+\log_xy=\frac{10}{3},

and

xy=144,

then

\frac{x+y}{2}=

12\sqrt2

13\sqrt3

24

30

36

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo quadratic equation symmetric expression

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Sea

t=\log_yx,

de modo que

\log_xy=\frac{1}{t}

Let

t=\log_yx,

so that

\log_xy=\frac{1}{t}

Pista grande:

Los valores resultantes de

t

muestran que uno de

x,y

es el cubo del otro

The resulting values of

t

show that one of

x,y

is the cube of the other

Solución:

Sea

t=\log_yx.

Entonces

t+\frac1t=\frac{10}{3},

de modo que

3t^2-10t+3=0,

lo que da

t=3

o

\frac{1}{3}.

Por tanto, uno de

x,y

es el cubo del otro. Sea

u

el menor. Entonces

u^4=xy=144,

así que

u=2\sqrt3

y

u^3=24\sqrt3.

Por consiguiente,

\frac{x+y}{2}=\frac{2\sqrt3+24\sqrt3}{2}=13\sqrt3.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let

t=\log_yx.

Then

t+\frac1t=\frac{10}{3},

so

3t^2-10t+3=0,

giving

t=3

or

\frac{1}{3}.

Thus one of

x,y

is the cube of the other. Let the smaller be

u.