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1991 AMC 12 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

若

f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x

对所有

x\notin\{0,1\}

都成立，且

0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}

，则

f(\sec^2\theta)=

If

f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac1x

for all

x\notin\{0,1\},

and

0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},

then

f(\sec^2\theta)=

\sin^2\theta

\cos^2\theta

\tan^2\theta

\cot^2\theta

\csc^2\theta

答案：A

知识点：function substitution 三角恒等式

难度评级：1800

小提示：

选择

x

，使得

\frac{1}{x}=\sec^2\theta

Choose

x

so that

\frac{1}{x}=\sec^2\theta

大提示：

使用

1-\cos^2\theta=\sin^2\theta

Use

1-\cos^2\theta=\sin^2\theta

解答：

由于

\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1}\text{，}

在定义中取

x=\csc^2\theta

。于是

f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta\text{。}

因此正确答案为 A。

Since

\sec^2\theta=\frac1{\cos^2\theta} =\frac{\csc^2\theta}{\csc^2\theta-1},

choose

x=\csc^2\theta

in the definition. Then

f(\sec^2\theta)=\frac1{\csc^2\theta}=\sin^2\theta.

Thus the correct answer is A.

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