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1992 AMC 12 第 10 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

使方程

kx-12=3k

对

x

有整数解的正整数

k

的个数为

The number of positive integers

k

for which the equation

kx-12=3k

has an integer solution for

x

is

3

4

5

6

7

答案：D

知识点：一次方程整除性 positive divisors

难度评级：1420

小提示：

用

k

表示

x

Solve the equation for

x

in terms of

k

大提示：

当且仅当

k

是

12

的正因数时，

3+\frac{12}{k}

才是整数

The expression

3+\frac{12}{k}

is integral exactly when

k

is a positive divisor of

12

解答：

解得

x=3+\frac{12}{k}

。因此，当且仅当

k

是

12

的正因数时，

x

才是整数。可能的取值为

1

、

2

、

3

、

4

、

6

和

12

，共

6

个。

因此正确答案是 D。

Solving gives

x=3+\frac{12}{k}.

Thus

x

is an integer precisely when

k

is a positive divisor of

12.

The possibilities are

1,

2,

3,

4,

6,

and

12,

for a total of

6.

Thus the correct answer is D.

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