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1992 AMC 12 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

在三角形

ABC

中，

\angle ABC=120^\circ

、

AB=3

，且

BC=4

。过

A

作

\overline{AB}

的垂线，过

C

作

\overline{BC}

的垂线，两条垂线交于

D

，则

CD=

In triangle

ABC,

\angle ABC=120^\circ,

AB=3,

and

BC=4.

If perpendiculars constructed to

\overline{AB}

at

A

and to

\overline{BC}

at

C

meet at

D,

then

CD=

3

\frac8{\sqrt3}

5

\frac{11}{2}

\frac{10}{\sqrt3}

答案：E

知识点：坐标几何 perpendicular lines distance

难度评级：2110

小提示：

取

B=(0,0)

、

A=(3,0)

Place

B=(0,0)

and

A=(3,0)

大提示：

利用

120^\circ

角确定

C

的位置，再参数化过

C

且垂直于

BC

的直线

Use the

120^\circ

angle to locate

C,

then parametrize the line through

C

perpendicular to

BC

解答：

取

B=(0,0)

、

A=(3,0)

，则

\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3) \end{aligned}\text{。}

过

A

且垂直于

AB

的直线为

x=3

。与

BC=(-2,2\sqrt3)

垂直的一个向量是

(\sqrt3,1)

，所以另一条垂线为

C+t(\sqrt3,1)

。当

t=\frac{5}{\sqrt3}

时，其

x

坐标为

3

。由于

|(\sqrt3,1)|=2

，可得

CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}\text{。}

因此正确答案是 E。

Set

B=(0,0)

and

A=(3,0).

Then

\begin{aligned} C&=4(\cos120^\circ,\sin120^\circ)\\ &=(-2,2\sqrt3). \end{aligned}

The perpendicular to

AB

at

A

is

x=3.

A vector perpendicular to

BC=(-2,2\sqrt3)

is

(\sqrt3,1),

so the other perpendicular is

C+t(\sqrt3,1).

Its

x

-coordinate is

3

when

t=\frac{5}{\sqrt3}.

Since

|(\sqrt3,1)|=2,

CD=2t=\frac{10}{\sqrt3}.

Thus the correct answer is E.

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