1994 AMC 12 第 23 题

Question

在

xy

平面内，考虑由水平和竖直线段围成的 L 形区域，其顶点为

(0,0)

、

(0,3)

、

(3,3)

、

(3,1)

、

(5,1)

和

(5,0)

。经过原点且将该区域面积恰好平分的直线斜率是

In the

xy

-plane, consider the L-shaped region bounded by horizontal and vertical segments with vertices at

(0,0),

(0,3),

(3,3),

(3,1),

(5,1)

and

(5,0).

The slope of the line through the origin that divides the area of this region exactly in half is

\frac27

\frac13

\frac23

\frac34

\frac79

答案：E

知识点：坐标几何 area bisectors 斜率

难度评级：1960

小提示：

这个 L 形区域的总面积为

11

The L-shaped region has total area

11

大提示：

设所求斜率为

m

，直线下方的面积由面积为

2

的延伸部分和一个底为

3

的三角形组成

For the desired slope

m,

the area below the line is the

2

-unit extension plus a triangle of base

3

解答：

该区域的面积为

3\cdot3+2\cdot1=11

，所以每一半的面积为

\frac{11}{2}

。若直线为

y=mx

，则直线下方包含面积为

2

的整个长方形（从

x=3

到

x=5

），以及一个底为

3

、高为

3m

的三角形。因此

2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}\text{。}

由此得

m=\frac{7}{9}

，它确实位于所假设的范围内。因此正确答案是 E。

The region has area

3\cdot3+2\cdot1=11,

so each half has area

\frac{11}{2}.

If the line is

y=mx,

the part below it consists of the entire

2

-unit rectangle from

x=3

to

x=5,

together with a triangle of base

3

and height

3m.

Therefore

2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}.

This gives

m=\frac{7}{9},

which indeed lies in the assumed range. Thus the correct answer is E.

1994 AMC 12 第 23 题

答案：E

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

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