1995 AMC 12 Problema 25

Question

Una lista de cinco enteros positivos tiene media

12

y rango

18.

Tanto la moda como la mediana son

8.

¿Cuántos valores distintos puede tener el segundo elemento mayor de la lista?

A list of five positive integers has mean

12

and range

18.

The mode and median are both

8.

How many different values are possible for the second largest element of the list?

4

6

8

10

12

Ordena los cinco enteros; la mediana y la moda obligan a que al menos dos términos sean

8

Sort the five integers; the median and mode force at least two entries to equal

8

Sea

m

el término menor y usa el rango y la suma total para expresar el segundo término mayor

Let the smallest entry be

m

and use the range and total sum to express the second largest entry

Escribe la lista ordenada como

m,8,8,d,m+18.

(Si el cuarto término fuera

8,

la suma y las condiciones de orden serían incompatibles.) Como el total es

5(12)=60,

m+8+8+d+(m+18)=60,

de modo que

d=26-2m.

Las condiciones

8\le d\le m+18

y

m\le8

dan

3\le m\le8.

Estos seis valores producen

d=20,

18,

16,

14,

12,

10,

todos válidos. Por tanto, hay

6

posibilidades, y la respuesta correcta es B.

Write the sorted list as

m,8,8,d,m+18.

(If the fourth entry were

8,

the sum and ordering conditions would be impossible.) Since the total is

5(12)=60,

m+8+8+d+(m+18)=60,

so

d=26-2m.

The conditions

8\le d\le m+18

and

m\le8

give

3\le m\le8.

These six values yield

d=20,

18,

16,

14,

12,

10,

all valid. Thus there are

6

possibilities, and the correct answer is B.

El Problema 25 en otros años