1951 AMC 12 Problema 11

Question

El límite de la suma de una progresión geométrica infinita es

\dfrac{a}{1-r},

donde

a

representa el primer término y

-1\lt r\lt1

representa la razón común. El límite de la suma de los cuadrados de sus términos es:

The limit of the sum of an infinite number of terms in a geometric progression is

\dfrac{a}{1-r},

where

a

denotes the first term and

-1\lt r\lt1

denotes the common ratio. The limit of the sum of their squares is:

\dfrac{a^2}{(1-r)^2}

\dfrac{a^2}{1+r^2}

\dfrac{a^2}{1-r^2}

\dfrac{4a^2}{1+r^2}

Ninguna de las anteriores

None of these

Al elevar cada término al cuadrado, también se eleva al cuadrado la razón común

Squaring every term also squares the common ratio

La serie de los cuadrados comienza con

a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots

The squared series begins

a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots

Los cuadrados de los términos forman una serie geométrica cuyo primer término es

a^2

y cuya razón es

r^2.

Como

|r|\lt1,

su suma es

\frac{a^2}{1-r^2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The squared terms form a geometric series with first term

a^2

and ratio

r^2.

Since

|r|\lt1,

its sum is

\frac{a^2}{1-r^2}.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 11 en otros años