1961 AMC 12 Problema 11

Question

Desde un punto exterior

A

se trazan dos tangentes a una circunferencia; la tocan en

B

y

C,

respectivamente. Una tercera tangente corta al segmento

AB

en

P

y a

AC

en

R,

y toca la circunferencia en

Q.

Si

AB=20,

entonces el perímetro del triángulo

APR

es:

Two tangents are drawn to a circle from an exterior point

A;

they touch the circle at points

B

and

C,

respectively. A third tangent intersects segment

AB

in

P

and

AC

in

R,

and touches the circle at

Q.

If

AB=20,

then the perimeter of triangle

APR

is:

42

40.5

40

39\dfrac78

no se puede determinar con la información dada

not determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:recta tangente perímetro manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior tienen igual longitud

Tangent segments from the same exterior point have equal lengths

Pista grande:

En el perímetro, reemplaza

PQ

por

PB

y

RQ

por

RC

Replace

PQ

by

PB

and

RQ

by

RC

in the perimeter

Solución:

La igualdad de los segmentos tangentes da

PQ=PB

y

RQ=RC.

Entonces

\begin{aligned} AP+PR+RA &=AP+PQ\\ &\quad+RQ+RA\\ &=AP+PB\\ &\quad+RC+RA\\ &=AB+AC. \end{aligned}

Además,

AB=AC=20,

así que el perímetro es

40.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Equal tangent segments give

PQ=PB

and

RQ=RC.

Thus

\begin{aligned} AP+PR+RA &=AP+PQ\\ &\quad+RQ+RA\\ &=AP+PB\\ &\quad+RC+RA\\ &=AB+AC. \end{aligned}

Also

AB=AC=20,

so the perimeter is

40.

Therefore, the correct answer is C.