1963 AMC 12 Problema 32

Question

Las dimensiones de un rectángulo

R

son

a

y

b,

con

a\lt b.

Se quiere obtener un rectángulo de dimensiones

x

y

y,

con

x\lt a,

y\lt a,

de modo que su perímetro sea un tercio del de

R,

y su área sea un tercio de la de

R.

El número de rectángulos distintos de este tipo es:

The dimensions of a rectangle

R

are

a

and

b,

a\lt b.

It is required to obtain a rectangle with dimensions

x

and

y,

x\lt a,

y\lt a,

so that its perimeter is one-third that of

R,

and its area is one-third that of

R.

The number of such (different) rectangles is:

0

1

2

4

infinitos

infinitely many

Respuesta: A

Conceptos:rectángulo desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Traduce las condiciones en

3(x+y)=a+b

y

3xy=ab

Translate the conditions into

3(x+y)=a+b

and

3xy=ab

Pista grande:

Divide la ecuación de la suma entre la del producto y compara recíprocos usando

x\lt a,

y\lt a,

y

a\lt b

Divide the sum equation by the product equation and compare reciprocals using

x\lt a,

y\lt a,

and

a\lt b

Solución:

Las condiciones dan

3(x+y)=a+b

y

3xy=ab.

Al dividir se obtiene

\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.

Pero

x\lt a

y

y\lt a

hacen que el lado izquierdo sea mayor que

\frac{2}{a},

mientras que

a\lt b

hace que el derecho sea menor que

\frac{2}{a}.

Esto es imposible.

Así, la respuesta correcta es A.

The conditions give

3(x+y)=a+b

and

3xy=ab.

Dividing yields

\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b.

But

x\lt a

and

y\lt a

make the left side greater than

\frac{2}{a},

while

a\lt b

makes the right side less than

\frac{2}{a}.

This is impossible.

Thus, the correct answer is A.