1971 AMC 12 Problema 12

Question

Para cada entero

N\gt1,

se define que dos enteros positivos son congruentes si dejan el mismo residuo no negativo al dividirlos entre

N.

Si

69,

90,

y

125

son congruentes en uno de estos sistemas, entonces, en ese mismo sistema,

81

es congruente con:

For each integer

N\gt1,

define positive integers to be congruent if they leave the same nonnegative remainder when divided by

N.

If

69,

90,

and

125

are congruent in one such system, then in that same system,

81

is congruent to:

3

4

5

7

8

El módulo divide la diferencia de cualesquiera dos enteros congruentes

The modulus divides the difference of any two congruent integers

Usa las diferencias

21

y

35

Use the differences

21

and

35

El módulo

N

divide tanto

90-69=21

como

125-90=35.

Como

N\gt1,

esto obliga a que

N=7.

Entonces

81\equiv4\pmod7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The modulus

N

divides both

90-69=21

and

125-90=35.

Since

N\gt1,

this forces

N=7.

Then

81\equiv4\pmod7.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 12 en otros años